Question

5．已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和S_n，且满足：a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是正项等比数列{b_n}的第1、3、5项，求i值及数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）是否存在常数k，使得数列{$\sqrt{{S}_{n}+kn}$}为等差数列，若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的性质得到a₂+a₄=18，利用韦达定理得到a₂，a₄二次方程的两个根，求出两个根，利用等差数列的通项列出方程组，求出首项与公差，求出通项．
（2）利用（1）中求出的通项求出a₁，a_i，a₂₁，根据它们成等比数列；列出方程求出i的值，可求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）利用等差数列的前n项和公式求出S_n，假设存在k，使数列为等差数列，求出数列的前三项，前三项成等比数列，列出方程求出k的值．

解答 解：（1）{a_n}为等差数列，
∴a₁+a₅=a₂+a₄=18，
又a₂•a₄=65，∴a₂，a₄是方程x²-18x+65=0的两个根，
又公差d＞0，∴a₂＜a₄，∴a₂=5，a₄=13．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{{a}_{1}+3d=13}\end{array}\right.$，∴a₁=1，d=4，
∴a_n=4n-3．（5分）
（2）由1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，∴a₁•a₂₁=a_i²，
即1×81=（4i-3）²，
解得i=3．
∴b₁=1，b₃=9，
∴T_n=$\frac{1-{9}^{n}}{1-9}$=$\frac{1}{8}$（9ⁿ-1）；
（3）由（1）知，S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×4$=2n²-n，
假设存在常数k，使数列{$\sqrt{{S}_{n}+kn}$}为等差数列，
由$\sqrt{{S}_{1}+k}+\sqrt{{S}_{3}+3k}$=2$\sqrt{{S}_{2}+2k}$，
得$\sqrt{1+k}+\sqrt{15+3k}=2\sqrt{6+2k}$，
解得k=1．
∴$\sqrt{{S}_{n}+kn}$=$\sqrt{2}$n，
此时有$\sqrt{2}$n-$\sqrt{2}$（n-1）=$\sqrt{2}$，数列{$\sqrt{{S}_{n}+kn}$}为等差数列．
∴存在常数k使得数列{$\sqrt{{S}_{n}+kn}$}为等差数列．

点评 解决等差数列、等比数列问题时，常利用首项、公差、公比围绕通项公式及前n项和公式，列方程解；解决是否存在这种开放型的题目，一般假设存在去求，求出即存在．