Question

（2012•黑龙江）设点P在曲线y=

1

2

ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（　　）

• A．1-ln2
• B．

  2

  (1-ln2)
• C．1+ln2
• D．

  2

  (1+ln2)

Answer 1

分析：由于函数y=

1

2

ex与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数y=

1

2

ex上的点P(x，

1

2

ex)到直线y=x的距离为d=

| 1 2 ex-x|

2

的最小值，
设g（x）=

1

2

ex-x，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求

解答：解：∵函数y=

1

2

ex与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称
函数y=

1

2

ex上的点P(x，

1

2

ex)到直线y=x的距离为d=

| 1 2 ex-x|

2

设g（x）=

1

2

ex-x，（x＞0）则g′(x)=

1

2

ex-1
由g′(x)=

1

2

ex-1≥0可得x≥ln2，
由g′(x)=

1

2

ex-1＜0可得0＜x＜ln2
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增
∴当x=ln2时，函数g（x）_min=1-ln2
dmin=

1-ln2

2

由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为2dmin=

2

(1-ln2)
故选B

点评：本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好