Question

10．设数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+n（n≥2且n∈N^*），{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}满足b_n=a_n+n+2．
（1）若a₁=1，求S_n；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+n（n≥2且n∈N^*），变形为a_n+n+2=2（a_n-1+n+1），利用等比数列的通项公式可得a_n，再利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．
（2）由（1）利用等比数列的定义即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+n（n≥2且n∈N^*），
∴a_n+n+2=2（a_n-1+n+1），
∴数列{a_n+n+2}是等比数列，首项为4，公比为2．
∴a_n+n+2=4×2^n-1．
∴a_n=2ⁿ⁺¹-（n+2）．
∴S_n=$\frac{{4×（2}^{n+1}-1）}{2-1}$-$\frac{n（3+n+2）}{2}$
=2ⁿ⁺³-4-$\frac{n（n+5）}{2}$．
（2）∵b_n=a_n+n+2，∴b_n+1=a_n+1+n+3．
由（1）可得：b_n+1=2b_n．
∴数列{b_n}为等比数列，首项为4，公比为2．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的定义通项公式前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．