题目内容
14.求函数f(x)=$\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$(x∈R)的反函数.分析 由已知条件,利用二项式定理求出y3=2x-3y,由此能求出函数f(x)=$\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$(x∈R)的反函数.
解答 解:∵y=f(x)=$\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$(x∈R),
∴y3=($\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$)3=(x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$)+3($\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$•$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$)($\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$)+(x-$\sqrt{1+{x}^{2}}$)
=2x-3($\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$)
=2x-3y,
∴$x=\frac{1}{2}({y}^{3}+3y)$,
x,y互换,得函数f(x)=$\root{3}{x+\sqrt{1+{x}^{2}}}$+$\root{3}{x-\sqrt{1+{x}^{2}}}$(x∈R)的反函数为:y=$\frac{1}{2}$(x3+3x).x∈R.
点评 本题考查函数的反函数的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意二项式定理的合理运用.
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