题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若曲线在
处的切线恰与曲线
相切,求a的值;
(2)不等式对一切正实数x恒成立,求a的取值范围;
(3)已知,若函数
在
上有且只有一个零点,求a的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
或
或
.
【解析】
(1)求出切线方程后,再与二次函数联立,利用判别式为0,即可求得的值;
(2)将问题转化为对任意的
恒成立,再利用参变分离和构造函数,即可得答案;
(3)由题意得,
,对
分
和
两种情况讨论,从而求得
的取值范围.
(1)因为,所以
,又切点为
,
因此曲线在
处的切线为
,
将与
联立,消去y得:
,
由题意知,
解得.
(2)因为,所以
,
即,
设,
则,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
因此,
所以,即
.
(3),
,
①当时,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
所以,
当,即
时,
因为,
又,
所以在
上存在唯一的零点,
因此在
上无零点,所以
即
,解得
又,所以
.
当,即
时,
有唯一的零点
.
当,即
时,
恒成立,所以
无零点.
②当时,
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
因为,所以当
,
无零点.
设,则
,于是
,
又,
所以在
上存在唯一的零点,即
在
上有且只有一个零点,
综上可知,或
或
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展,灯光展涉及到10000盏灯,每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为,并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长(单位:
),得到下面的频数表:
亮灯时长/ | |||||
频数 | 10 | 20 | 40 | 20 | 10 |
以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.
(1)试估计的值;
(2)设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.
①求的数学期望
和方差
;
②若随机变量满足
,则认为
.假设当
时,灯光展处于最佳灯光亮度.试由此估计,在一场灯光展中,处于最佳灯光亮度的时长(结果保留为整数).
附:
①某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商;
②若,则
,
,
.