Question

【题目】已知抛物线C：x2＝2y，过点(0，2)作直线l交抛物线于A、B两点.

（1）证明：OA⊥OB；

（2）若直线l的斜率为1，过点A、B分别作抛物线的切线l1，l2，若直线l1，l2，相交于点P，直线l1，l2交x轴分别于点M，N，求△MNP的外接圆的方程.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）设直线：，设，，联立方程得到，，故，得到证明.

（2）求导得到，得到切线方程和，计算点，设的外接圆的方程为：，计算得到，，，得到答案.

（1）显然直线的斜率存在，设直线：，设，

联立得，

，，，

，.

（2），，，

切线：即，同理可得切线：.

令，则，，联立得点，

设的外接圆的方程为：，令，则.

由韦达定理可得，，

，且，，

则圆的方程为：，即.