Question

设f（x）为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x；当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分：
（1）在下面的直角坐标系中直接画出函数f（x）的图象；
（2）求函数f（x）在（-∞，-2）上的解析式

f（x）=-2（x+3）²+4

；
（3）函数f（x）值域为

（-∞，4]

．

Answer 1

分析：（1）由题意知，先利用一次函数及二次函数的图象画出y轴右侧的图象，再根据偶函数图象的对称性，得出整个图象．
（2）当x∈（-∞，-2）时，y=f（x）的图象时顶点在P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分，利用抛物线的顶点式写出其解析式即可．
（3）由（2）中函数图象可知，函数的最大最大值为4，从而得出函数的值域．

解答：解：（1）由题意知：当0≤x≤2时，y=x；当x＞2时，y=-2（x+3）²+4，
先利用一次函数及二次函数的图象画出y轴右侧的图象，
再根据偶函数图象的对称性，得出图象如图所示…2分
（2）当x∈（-∞，-2）时，
∵y=f（x）的图象时顶点在P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分
∴解析式为f（x）=-2（x+3）²+4，…6分
（3）由（1）中函数图象可知，函数的最大最大值为4，
故函数的值域为：（-∞，4]…8分．

点评：本题主要考查分段函数及函数的图象、考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．