Question

设集合A={x|2(log

1

2

x)2-21log8x+3≤0}，若当x∈A时，函数f(x)=log2

x

2a

•log2

x

4

的最大值为2，求实数a的值．

Answer 1

分析：yusuanxingzhi先解不等式2(log

1

2

x)2-21log8x+3≤0，利用对数运算性质及换元法，设log2x =t，解得t的范围，再利用换元法和对数运算性质将函数f(x)=log2

x

2a

•log2

x

4

化为关于变量t的函数，求其最大值，列方程求得a值

解答：解：∵log

1

2

x =-log2x ，log8x =

1

3

log2x 
∴不等式2(log

1

2

x)2-21log8x+3≤0?2(-log2x)2-

21

3

log2x+3≤0
即2(log2x)2-7log2x+3≤0
令log2x =t，则
2t²-7t+3≤0   （t∈R）
即

1

2

≤t≤3
又∵y=log2

x

2a

•log2

x

4

=（log2x -a）（log2x -2）=（t-a）（t-2）
即y=（t-

2+a

2

）²-

(a-2)2

4

  （

1

2

≤t≤3）的最大值为2
若

2+a

2

≤

1 2 +3

2

=

7

4

，即a≤

3

2

时，t=3时，y_最大=3-a≠2，故不合题意
若

2+a

2

＞

1 2 +3

2

=

7

4

，即a＞

3

2

时，t=

1

2

时，y_最大=-

3

2

×（

1

2

-a）=2，即a=

11

6

，符合题意
∴函数f(x)=log2

x

2a

•log2

x

4

的最大值为2时，实数a的值为

11

6

点评：本题考查了对数对数运算性质及换元法解不等式，换元法求函数值域的方法，二次函数的值域及二次不等式的解法，分类讨论的思想方法