题目内容

【题目】已知函数f(x)=x﹣1+aex
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)求f(x)的极值;
(3)当a=1时,曲线y=f(x)与直线y=kx﹣1没有公共点,求k的取值范围.

【答案】
(1)解:f(x)=x﹣1+aex.求导,f′(x)=1+aex

由f′(1)=0,1+ae=0,解得:a=﹣

∴a的值﹣


(2)解:当a≥0,f′(x)>0恒成立,则f(x)在R上是增函数,无极值;

当a<0时,令f′(x)=0,则ex=﹣ ,x=ln(﹣ ),

x<ln(﹣ ),f′(x)>0;当x>ln(﹣ ),f′(x)<0,

∴f(x)在(﹣∞,ln(﹣ ))上单调递增,在(ln(﹣ ),+∞)单调递减,

f(x)在x=ln(﹣ )处取极大值,且极大值f(ln(﹣ ))=﹣ln(﹣a)﹣2,无极小值


(3)解:当a=1时,f(x)=x﹣1+ex

令g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+ex

由题意可知:g(x)=0无实数解,

假设k<1,此时g(0)=1>0,g( )=﹣1+ <0,

由函数g(x)的图象连续不断,由函数零点存在定理g(x)=0在R上至少有一解,

与方程g(x)=0,在R上没有实数解矛盾,故k≥1,

由k=1时,g(x)=ex,可知方程g(x)=0在R上没有实数解,

∴k的取值范围[1,+∞)


【解析】(1)求导,由题意可知f′(1)=0,即可求得a的值;(2)由(1)可知:分类讨论,根据导数与函数的单调性及极值的关系,即可求得f(x)的极值;(3)由题意可知g(x)=(1﹣k)x+ex=0无实数解,求导,根据函数的单调性及函数零点的判断,即可求得k的取值范围.
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.

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