题目内容
（12分）已知椭圆
的离心率
，过右焦点
的直线
与椭圆
相交于
两点，当直线的斜率为1时，坐标原点
到直线的距离为
.
（1）求椭圆的方程
（2）椭圆上是否存在点
，使得当直线绕点转到某一位置时，有
成立？若存在，求出所有满足条件的点的坐标及对应直线方程；若不存在，请说明理由。
（1）
（2）存在，坐标为
或
.
解析试题分析：(1)因为直线过右焦点
，斜率为1，
所以直线的方程为：
即
.
坐标原点到直线的距离为
，所以
，所以
. …2分
因为离心率为，所以
所以
，
所以椭圆C的方程为. …4分
(2)因为直线过右焦点，所以当直线斜率不存在时，直线方程为：
所以
所以
,为右端点时，
，
所以此时没有符合要求的点.
当直线斜率存在时，设直线方程为：
，
由
得：
. …7分
设点
的坐标分别为
，
，
则
，因为
，
，
所以
，
所以
，
所以点的坐标为
，且符合椭圆方程，
所以
，解得
所以点的坐标为或. …12分
考点：本小题主要考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系和平面向量的坐标运算，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.
点评：设直线方程时要注意斜率存在与不存在两种情况，求解直线与椭圆位置关系问题时，通常要联立方程组，运算量比较大，应该仔细计算，并且要注意通性通法的应用，加强解题的规范性.
练习册系列答案
相关题目
的焦点
和
，长轴长6，设直线
交椭圆
，
两点，求线段
的中点坐标.
，0）和F2（
交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
与抛物线
交于不同两点A、B，F为抛物线的焦点。
的重心G的轨迹方程；
的外接圆的方程。
的离心率
，直线
过
、
两点，原点
到
.
作直线
交双曲线于
两点，若
，求直线
，且点A
和点B
都在椭圆
内部，
的所有可能结果；
成立的
的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点
。
，求点T的坐标；
，若
（T为（1）中的点）的取值范围。
的右焦点为
，离心率为
.
,求椭圆的方程; (2)设直线
与椭圆相交于
两点,
分别为线段
的中点.若坐标原点
在以
为直径的圆上,且
,求
的取值范围.
有共同渐近线，并且经过点 （－3，
）的双曲线方程.