Question

给出下列五个命题：
①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，则?=2kπ+

π

2

，k∈Z；
②函数f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx在区间[-

π

6

，

π

3

]上是单调递增；
③已知a，b∈R，则“a＞b＞0”是“(

1

2

)a＜(

1

2

)b”的充分不必要条件；
④若xlog₃4=1，则4x+4-x=

10

3

；
⑤在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC必为锐角三角形．
其中正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，则由偶函数的性质可得对称轴为y轴且该点取得函数的最值，则f（0）=±1，代入可得，φ=kπ+

π

2

，k∈Z故①错误
②函数f(x)=cos2x-2

3

sinxcosx=cos2x-

3

sin2x=2cos(2x+

π

3

)，在区间[-

π

6

，

π

3

]上是单调递减，故②错误
③a＞b＞0?(

1

2

)a＜(

1

2

)b，但由(

1

2

)a＜(

1

2

)b只可得a＞b，即a＞b＞0是(

1

2

)a＜(

1

2

)b的充分不必要条件，故③正确
④由xlog₃4=1?x=log₄3，则4x+4-x=4log43+

1

4log43

=3+

1

3

=

10

3

，故④正确
⑤由三角形的内角和定理可知，三角形的内角最多有一个钝角，故可设A，B为锐角，tanA＞0，tanB＞0
利用内角和公式可把tanA+tanB+tanC＞0?tanA+tanB-tan（A+B）＞0，利用两角和的正切公式展开整理可得tanAtanB＞1，则可得tanA＞cotB=tan（(

π

2

-B)，则有A＞

1

2

π-B，所以有A+B＞

π

2

，从而可得C＜

π

2

故⑤正确
故答案为：③④⑤