给出下列五个命题:①若4a=3.log45=b.则log495=a2-b,②函数f(x)=0.51+2x-x2的单调递减区间是[1.+∞),③m≥-1.则函数y=lg(x2-2x-m)的值域为R,④若映射f:A→B为单调函数.则对于任意b∈B.它至多有一个原象,⑤函数y=ex的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.则f(e3)=3．其中正确的命题是③④⑤③� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

给出下列五个命题：
①若4^a=3，log₄5=b，则log4

=a2-b；
②函数f(x)=0.51+2x-x2的单调递减区间是[1，+∞）；
③m≥-1，则函数y=lg（x²-2x-m）的值域为R；
④若映射f：A→B为单调函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
⑤函数y=e^x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则f（e³）=3．
其中正确的命题是

③④⑤

（把你认为正确的命题序号都填在横线上）

分析：由已知可得log₄3=a，log₄5=b，结合对数的运算性质，可判断①的真假；
根据指数函数的单调性，二次函数的单调性及复合函数“同增异减”的原则，可判断②的真假；
由于对数函数值域是R，则只需让真数取遍（0，+∞）内的所有实数即可，即需让（0，+∞）为函数t=x²-2x-m值域的子集，求出m的范围可判断③的真假．
根据单调函数的图象和性质及函数一一映射的定义，可判断④的真假
根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，图象关于直线y=x对称，求出函数y=f（x）的解析式，代入求值，可判断⑤的真假．

解答：解：由4^a=3可得log₄3=a，结合log₄5=b，可得log4

=log₄9-log₄5=2log₄3-log₄5=2a-b，故①错误；
函数y=0.5^u为减函数，函数u=1+2x-x²在区间[1，+∞）上也为减函数，根据复合函数“同增异减”的原则，可得函数在区间[1，+∞）上为增函数，故②错误；
由于对数函数y=lg（x²-2x-m）的值域是R，则需让真数t=x²-2x-m的值取遍（0，+∞）内的所有实数，即△=4+4m≥0，解得m≥-1，故③正确．
对于④，根据单调函数的定义知函数必为一一映射，反之，由一一映射确定的函数关系不一定是单函数，所以④正确．
函数y=e^x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则y=f（x）=lnx，∴f（e³）=lne³=3，故⑤正确
故答案为：③④⑤

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了对数的运算性质，复合函数的单调性，函数的值域，函数的单调性，反函数等知识点，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．