题目内容
【题目】已知函数。
(1)当时,求函数
在
处的切线方程;
(2)求函数在
上的最小值;
(3)证明:,都有
.
【答案】(1);(2)答案见解析;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)利用导函数研究函数的切线方程可得切线方程为
(2)分类讨论可得:当时,
;当
,
;当
时,
(3)构造新函数,结合(1)的结论和不等式的特点研究函数的最值即可证得题中的结论.
试题解析:
(1)时,
切线斜率,切点为
,切线方程为
(2),令
①当时,
,
在
上单调递增,
;
②当,即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
;
③当时,
,
在
上单调递减,
(3)要证的不等式两边同乘以,则等价于证明
令,则由(1)知
令,则
,当
时,
,
递增;
当时,
,
递增减;
所以,且最值不同时取到,即
,都有
。
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