题目内容
探究函数f(x)=x+
，x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
（1）若函数f(x)=x+
，（x＞0）在区间（0，2）上递减，则在
（2）当x=
，（x＞0）的最小值为
（3）试用定义证明f(x)=x+
，（x＞0）在区间（0，2）上递减；
（4）函数f(x)=x+
，（x＜0）有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.102 | 4.24 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
（1）若函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
[2，+∞）
[2，+∞）
上递增；（2）当x=
2
2
时，f(x)=x+| 4 |
| x |
4
4
；（3）试用定义证明f(x)=x+
| 4 |
| x |
（4）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
分析：（1）观察表格即可得到结论；
（2）观察表格可得到x=2时满足题意；
（3）可以利用单调性的定义进行证明：①设0＜x1＜x2＜2，②f（x1）-f（x2），③整理化简，判断符号即可；
（4）利用函数f(x)=x+
的奇偶性与单调性即可得到答案．
（2）观察表格可得到x=2时满足题意；
（3）可以利用单调性的定义进行证明：①设0＜x1＜x2＜2，②f（x1）-f（x2），③整理化简，判断符号即可；
（4）利用函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
解答：解：（1）∵f（2.1）=4.005，f（2.2）=4.102，f（2.3）=4.24，f（3）=4.3…
故函数f(x)=x+
，（x＞0）在区间（2，+∞）（左端点可以闭）递增；
（2）由表格可知，x=2时，ymin=4 （4分）
（3）设0＜x1＜x2＜2，则
f（x1）-f（x2）=(x1+
)-(x2+
)=(x1-x2)+(
-
)
=(x1-x2)+
=(x1-x2)(1-
)
∵0＜x1＜x2＜2∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4∴
＞1∴1-
＜0
∴(x1-x2)(1-
)＞0即f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在区间（0，2）上递减．
（4）∵f(x)=x+
为奇函数，∴当x=-2时有最大值-4．
故函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（2）由表格可知，x=2时，ymin=4 （4分）
（3）设0＜x1＜x2＜2，则
f（x1）-f（x2）=(x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
=(x1-x2)+
| 4x2-4x1 |
| x1x2 |
| 4 |
| x1x2 |
∵0＜x1＜x2＜2∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜4∴
| 4 |
| x1x2 |
| 4 |
| x1x2 |
∴(x1-x2)(1-
| 4 |
| x1x2 |
∴f（x）在区间（0，2）上递减．
（4）∵f(x)=x+
| 4 |
| x |
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，着重考查学生观察、分析及用单调性的定义进行证明问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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探究函数f(x)=x+
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
(x＞0)在区间 上递增；
（2）函数f(x)=x+
(x＞0)，当x= 时，y最小= ；
（3）函数f(x)=x+
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
（1）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
（2）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（3）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |