Question

已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,

则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,

得   a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.              ………3分

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）    

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知 ＝＝

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）﹤（）成立的m，必须且仅须满足≤，

即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

【解析】略