Question

已知二次函数的图像经过坐标原点，且满足，设函数,其中为非零常数

(I)求函数的解析式；

(II)当 时，判断函数的单调性并且说明理由；

 (III)证明：对任意的正整数,不等式恒成立

Answer 1

解析:

（Ⅰ）设，的图象经过坐标原点，所以c=0.

∵ ∴

         即：

          ∴a=1,b=0, ；……………………………………４分

（Ⅱ）函数的定义域为

．，

令，，

，

∵，∴，在上恒成立，

  即，当时,函数在定义域上单调递减．………９分

（III）当时，，令 

则在上恒正，

∴在上单调递增，当时，恒有.，

即当时，有，

对任意正整数，取得．………………１３分