Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象在点（1，f（1））处切线的斜率为10，当x=6时，函数f（x）有极值36．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若直线l₁，l₂过点（s，t）且于函数y=f（x）的图象相切，切点坐标分别为A，B，求证直线x=s平分线段AB；
（Ⅲ）若g（x）=10lnx+m，试问：是否存在实数m，使得y=f（x）的图象于y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得

f′(1)=2a+b=10 f(6)=36a+6b+c=36 f′(6)=12a+b=0

，解之得

a=-1 b=12 c=0

．
（Ⅱ）设切点为M（X，Y），则过点M的切线方程为y-Y=（-2x+12）（x-X），又该切线过点（s，t），则得t+X²-12X=（-2X+12）（s-X），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB中点坐标为（x₀，y₀），则x₁，x₂是X²-2sX+12s-t=0的两个根，∴x0=

x1+x2

2

=

2s

2

=s，故直线x=s平分线段AB；
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x）=x²-12x+10lnx+m，则问题等价于函数y=φ（x）的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点，
得到φ′(x)=2x-12+

10

x

=

2x2-12x+10

x

=

2(x-1)(x-5)

x

，（x＞0）进而得到φ（x）的极大值为φ（1）=m-11；φ（x）的极小值为φ（5）=m+10ln5-35
由题意知，要使φ（x）=0有且仅有两个不同的正根，必须且只须φ（1）=m-11=0或φ（5）=m+10ln5-35=0，解出m即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得

f′(1)=2a+b=10 f(6)=36a+6b+c=36 f′(6)=12a+b=0

解之得

a=-1 b=12 c=0

∴函数f（x）的解析式为f（x）=-x²+12x．…（4分）
（Ⅱ）设切点为M（X，Y），则Y=-X²+12X．
点M处切线的斜率为f'（x）=-2x+12，
过点M的切线方程为y-Y=（-2x+12）（x-X），…（6分）
又该切线过点（s，t），∴t-Y=（-2x+12）（s-X），
即t+X²-12X=（-2X+12）（s-X），
整理可得X²-2sX+12s-t=0，…．（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB中点坐标为（x₀，y₀），
则x₁，x₂是X²-2sX+12s-t=0的两个根，∴x0=

x1+x2

2

=

2s

2

=s，故直线x=s平分线段AB．…（10分）
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x）=x²-12x+10lnx+m
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数y=φ（x）的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点，
∴φ′(x)=2x-12+

10

x

=

2x2-12x+10

x

=

2(x-1)(x-5)

x

，（x＞0）…（12分）
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）是增函数；
当x∈（1，5）时，φ'（x）＜0，φ（x）是减函数；
当x∈（5，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）是增函数；
当x=1或x=5时，φ'（x）=0
∴φ（x）的极大值为φ（1）=m-11；φ（x）的极小值为φ（5）=m+10ln5-35．…（14分）
又因为当x→0时，φ（x）→-∞；当x→+∞时，φ（x）→+∞．
所以要使φ（x）=0有且仅有两个不同的正根，必须且只须φ（1）=m-11=0或φ（5）=m+10ln5-35=0
解得m=11或m=35-10ln5．
∴当m=11或m=35-10ln5时，函数f（x）与函数g（x）的图象
有且只有两个不同的交点…（16分）

点评：本题综合考查了极值的意义，导数与函数单调性间的关系，分类讨论的思想方法，属于中档题．