Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2-bx(a，b∈R)，若y=f（x）图象上的点(1，-

11

3

)处的切线斜率为-4，求y=f（x）的极大、极小值．

Answer 1

分析：求出f′（x），因为函数在x=1处切线的斜率为-4，则f′（1）等于-4，把(1，-

11

3

)代入f（x）得到f（1）=-

11

3

，联立即可求出a与b的值，把求出的a与b的值代入到f′（x）后，令f′（x）大于0解出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）小于0解出x的范围即为函数的减区间，通过列表然后分别求出y=f（x）的极大、极小值即可．

解答：解：f'（x）=x²+2ax-b，f'（1）=-4∴1+2a-b=-4①
又(1，-

11

3

)在f（x）图象上，∴

1

3

+a-b=-

11

3

即a-b+4=0②
由①②解得

a=-1 b=3

，
∴f(x)=

1

3

x3-x2-3x， f′(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1)
∴f'（x）=x²-2x-3=0解得x=-1或3．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
y'	+	0	-	0	+
y	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f(x)极大=f(-1)=

5

3

，f(x)极小=f(3)=-9．

点评：此题考查学生会求曲线上过某点切线的斜率，会利用导函数的正负研究原函数的增减性，会利用导数求闭区间上函数的极值，是一道中档题．