题目内容

6．已知m=-8.00，n=15.00，求f（x）=（x2+mx+n）（1-x2）的最大值16．

分析 求函数的导数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．

解答 解：当m=-8，n=15时，f（x）=（x2-8x+15）（1-x2）=-x4+8x3-14x2-8x+15，
则函数的导数f′（x）=-4x3+24x2-28x-8=-4（x-2）（x2-4x-1）=-4（x-2）[x-（2+$\sqrt{5}$）][x-（2-$\sqrt{5}$）]，
由f′（x）＞0解得x＜2-$\sqrt{5}$或2＜x＜2+$\sqrt{5}$，此时函数递增，
由f′（x）＜0解得2-$\sqrt{5}$＜x＜2或x＞2+$\sqrt{5}$，此时函数递减，
则当x=2-$\sqrt{5}$或x=2+$\sqrt{5}$时，函数取得极大值同时也是最大值，
则f（2+$\sqrt{5}$）=16，f（2-$\sqrt{5}$）=16，
故f（x）=（x2+mx+n）（1-x2）的最大值为16，
故答案为：16

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数求出函数的极值和最值是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．

练习册系列答案
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B．函数f（x）=|log2（x-1）|是（1，+∞）上的1级类增函数
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