Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2，1；（2）

【解析】试题（Ⅰ）利用奇函数定义，在f（﹣x）=﹣f（x）中的运用特殊值求a，b的值；

（Ⅱ）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．

解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，

即

又由f（1）=﹣f（﹣1）知．

所以a=2，b=1．

经检验a=2，b=1时，是奇函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．

又因为f（x）是奇函数，

所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0

等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），

因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．

即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，

从而判别式．

所以k的取值范围是k＜﹣．