题目内容
【题目】已知函数 (
为常数,
为自然对数的底数).
(Ⅰ)当时,讨论函数
在区间
上极值点的个数;
(Ⅱ)当,
时,对任意的
都有
成立,求正实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)第一步求函数的导数,第二步再设,并且求
以及
时,
,分析函数
的单调性,得到函数
的取值范围,并且根据
,讨论
和函数
的极值以及端点值的大小关系,得到函数
的极值点的个数;(Ⅱ)不等式等价于
,求
的最大值小于
的最小值,即求得
的取得范围.
试题解析:(Ⅰ) 时,
,记
,
则,
,
当时,
,
时,
,
所以当时,
取得极小值
,又
,
,
,所以
(ⅰ)当,即
时,
,函数
在区间
上无极值点;
(ⅱ)当即
时,
有两不同解,
函数在区间
上有两个极值点;
(ⅲ)当即
时,
有一解,
函数在区间
上有一个极值点;
(ⅳ)当即
时,
,函数
在区间
上
无极值点;
(Ⅱ)当时,对任意的
都有
,
即,即
记,
,
由,当
时
,
时,
,
所以当时,
取得最大值
,
又,当
时
,
时,
,
所以当时,
取得最小值
,
所以只需要
,即正实数
的取值范围是
.
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