Question

【题目】如图，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，为上的点，且平面.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).

【解析】试题分析：（1）由平面可证，由二面角为直二面角及是正方形可证，再由线面垂直判定定理得平面，即可得证；（2）取的中点，连接，，由四边形为正方形可证，，即可得为二面角的平面角，根据题设条件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等体积法，由即可得点到平面的距离.

试题解析：（1）∵平面，∴.

又∵二面角为直二面角，且，

∴平面，

∴，∴平面，

∴.　

（2）取的中点，连接，.

∵四边形为正方形，∴，∴，

即为二面角的平面角，又，

∴，由（1）知，且，

∴，∴，由，解得，

∴，即

∴，即二面角的余弦值为.　

（3）取的中点，连接，

∵，二面角为直二面角，

∴平面，且.

∵，，∴平面，∴，

∴，又，

由，得，∴.