Question

【题目】已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点,点P是准线l上的动点,直线PF交抛物线于A,B两点,若点P的纵坐标是m(m≠0),点D为准线l与x轴的交点.

(1)若m=2,求△DAB的面积;

(2)设=λ=μ,求证:λ+μ为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

⑴代入，求出直线的斜率，联立直线方程与抛物线方程求出的长度，然后求出高，就可以得到面积

⑵==，变化为坐标表示式，从中求出参数、，用两点A,B的坐标表示的表达式，即可得证

(1)解由题知点P,F的坐标分别为(-1,2),(1,0),于是直线PF的斜率为1,

所以直线PF的方程为y=-(x-1).

设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

由直线与抛物线联立得x2-6x+1=0,

所以x1+x2=6,x1x2=1,

于是|AB|=x1+x2+2=8.

点D到直线x+y-1=0的距离d=,

所以S=×8×=4.

(2)证明由直线y=-(x-1),与抛物线联立得m2x2-(2m2+16)x+m2=0,

所以x1+x2=,x1x2=1.

因为=λ=μ,

所以(1-x1,-y1)=λ(x2-1,y2),(-1-x1,m-y1)=μ(x2+1,y2-m),

于是λ=,μ=(x2≠±1).

所以λ+μ=

==0.