Question

已知定义域是全体实数的函数y=f（x）满足f（x+2π）=f（x），且函数g（x）=，函数h（x）=．现定义函数p（x），q（x）为：p（x）=，q（x）=，其中k∈Z，那么下列关于p（x），q（x）叙述正确的是（ ）
A．都是奇函数且周期为π
B．都是偶函数且周期为π
C．均无奇偶性但都有周期性
D．均无周期性但都有奇偶性

Answer 1

【答案】分析：先求出g（-x）==g（x），再利用f（x）的周期为2π，可推出g（x+π）=g（x-π），故g（x）周期为
2π，在此基础上推出p（-x）=p（x），p（x+π）=p（x），即p（x）是偶函数且周期为π，同理可得q（x）
也是偶函数且周期为π．
解答：解：∵g（x）=，∴g（-x）==g（x） 且g（x+π）==g（x-π），即g（x）周期为2π．
∴x≠kπ+时，p（-x）==，
且p（x+π）=，由此可得p（x）是偶函数且周期为π，
同理可得q（x）也是偶函数且周期为π．
故选B．
点评：本题考查了抽象函数的奇偶性及其周期性，此类考点具有很强的抽象性，因而难度较大．