Question

已知定义域是全体实数的函数y=f（x）满足f（x+2π）=f（x），且函数g（x）=

f(x)+f(-x)

2

，函数h（x）=

f(x)-f(-x)

2

．现定义函数p（x），q（x）为：p（x）=

g(x)-g(x+π) 2cosx (x≠kπ+ π 2 ) 0         (x=kπ+ π 2 )

，q（x）=

h(x)+h(x+π) 2sin2x (x≠ kπ 2 ) 0      (x= kπ 2 )

，其中k∈Z，那么下列关于p（x），q（x）叙述正确的是（　　）

A．都是奇函数且周期为π

B．都是偶函数且周期为π

C．均无奇偶性但都有周期性

D．均无周期性但都有奇偶性

Answer 1

分析：先求出g（-x）=

f(-x)+f(x)

2

=g（x），再利用f（x）的周期为2π，可推出g（x+π）=g（x-π），故g（x）周期为
2π，在此基础上推出p（-x）=p（x），p（x+π）=p（x），即p（x）是偶函数且周期为π，同理可得q（x）
也是偶函数且周期为π．

解答：解：∵g（x）=

f(x)+f(-x)

2

，∴g（-x）=

f(-x)+f(x)

2

=g（x） 且g（x+π）=

f(x+π)+f(-x-π)

2

=

f(x-π)+f(-x+π)

2

=g（x-π），即g（x）周期为2π．
∴x≠kπ+

π

2

时，p（-x）=

g(-x)-g(-x+π)

2cos(-x)

=

g(x)-g(x-π)

2cosx

=

g(x)-g(x+π)

2cosx

=p(x)，
且p（x+π）=

g(x+π)-g(x+2π)

2cos(x+π)

=

g(x+π)-g(x)

-2cosx

=p(x)，由此可得p（x）是偶函数且周期为π，
同理可得q（x）也是偶函数且周期为π．
故选B．

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性及其周期性，此类考点具有很强的抽象性，因而难度较大．