Question

设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且＝.

(1)求点M的轨迹C的方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m(m≠0)与(1)中的轨迹C交于不同的两点A，B.

若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

（1）＝1（2）(－，0)∪(0，)

【解析】(1)设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0,0)．

由＝(x0－x，－y)，＝(0，－y0)，且＝，得

(x0－x，－y)＝ (0，－y0)．

∴于是

又＋＝4，∴x2＋y2＝4.∴点M的轨迹C的方程为＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立

得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0.

∴Δ＝(8mk)2－16(3＋4k2)(m2－3)＞0，

即3＋4k2－m2＞0.(*)且

依题意，k2＝，即k2＝.

∴x1x2k2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.

∴km(x1＋x2)＋m2＝0，即km＋m2＝0.

∵m≠0，∴k＋1＝0，解得k2＝.

将k2＝代入(*)，得m2＜6.∴m的取值范围是(－，0)∪(0，)．