题目内容
【题目】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.
(1)在线段BC是否存在一点E，使得ND⊥FC ，若存在，求出EC的长并证明；
若不存在，请说明理由．
(2)求四面体NEFD体积的最大值．
【答案】（1）见解析； （2）
.
【解析】
（1）EC＝3时符合；连接ED，交FC于点O，先证明FC⊥平面NED，再证明ND⊥FC.(2) 设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，再求出
，再利用基本不等式求四面体NEFD体积的最大值.
（1）证明：EC＝3时符合；连接ED，交FC于点O，如图所示．
∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE平面MNEF，∴NE⊥平面ECDF.
∵FC平面ECDF，∴FC⊥NE.
∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED.
又∵ED∩NE＝E，ED，NE平面NED，
∴FC⊥平面NED.
∵ND平面NED，∴ND⊥FC.
(2)设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，
由(1)得NE⊥平面FEC，
∴四面体NEFD的体积为，
所以
，
当且仅当x＝4－x，即x＝2时，四面体NEFD的体积最大，最大值为2
【题目】某县共有户籍人口60万，经统计，该县60岁及以上、百岁以下的人口占比
，百岁及以上老人15人.现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人，得到如下频数分布表：
年龄段（岁） |
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人数（人） | 125 | 75 | 25 | 5 |
（1）从样本中70岁及以上老人中，采用分层抽样的方法抽取21人，进一步了解他们的生活状况，则80岁及以上老人应抽多少人？
（2）从（1）中所抽取的80岁及以上老人中，再随机抽取2人，求抽到90岁及以上老人的概率；
（3）该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工作的意见》精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：
①本县户籍60岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金；
②本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴；
（a）百岁及以上老年人，每人每月发放345元的生活补贴；
（b）90岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放200元的生活补贴；
（c）80岁及以上、90岁以下老年人，每人每月发放100元的生活补贴.
试估计政府执行此项补贴措施的年度预算.
