题目内容

已知x,y∈R+且x+y=4,求
1
x
+
2
y
的最小值.某学生给出如下解法:由x+y=4得,4≥2
xy
①,即
1
xy
1
2
②,又因为
1
x
+
2
y
≥2
2
xy
③,由②③得
1
x
+
2
y
2
④,即所求最小值为
2
⑤.请指出这位同学错误的原因
 
分析:在题中所给的解法中,解答过程中两次利用基本不等式,两次的等号不能同时取得,结果取不到等号.由此得到正确的解法,已知条件是一个整式等式,求得式子是分式形式,将分式乘以整式再展开,利用基本不等式求出最值,注意等号是否能取到.
解答:解:②中x=y时取等号; ③中
1
x
=
2
y
即y=2x时取等号
而②③的等号同时成立是不可能的.
故答案为:两个等号不能同时取到.
点评:本题考查利用基本不等式求函数的最值时,要注意需要考虑的条件:一正;二定;三相等.
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