Question

已知x，y∈R⁺且x+y=4，则

1

x

+

2

y

的最小值是

1

4

(3+2

2

)

．

Answer 1

分析：x，y∈R⁺且x+y=4⇒

1

x

+

2

y

=（

1

x

+

2

y

）•

1

4

（x+y）=

1

4

（1+

y

x

+

2x

y

+2），应用基本不等式即可．

解答：解：∵x，y∈R⁺且x+y=4，
∴

1

x

+

2

y

=（

1

x

+

2

y

）•

1

4

（x+y）=

1

4

（1+

y

x

+

2x

y

+2）≥

1

4

（3+2

y x • 2x y

）=

1

4

(3+2

2

)（当且仅当 x=4（

2

-1）时取“=”）．
故答案为：

1

4

(3+2

2

)．

点评：本题考查基本不等式，着重考查整体代换的思想，易错点在于应用基本不等式时需注意“一正二定三等”三个条件缺一不可，属于基础题．