Question

【题目】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

（2）若点是直线上的动点，过作直线与圆相切，切点分别为、，若使四边形的面积最小，求此时点的坐标.

Answer 1

【答案】（1），（2）点的坐标为.

【解析】分析：（1）利用代入法消去参数可得直线的普通方程，将圆的极坐标方程，利用两角差的余弦公式展开，两边同乘，根据互化公式可得圆的直角坐标方程；（2）若使四边形的面积最小，则的面积要最小，要使的面积要最小，只需最小即可，若最小，则最小，当最小时，，进而可得结果.

详解：（1）直线的参数方程为（为参数），

消去参数得直线的普通方程为.

由 ，

两边同乘得，，

∴，

∴圆的直角坐标方程为.

（2）依题意，若使四边形的面积最小，则的面积要最小，

由，其中等于圆的半径，

∴要使的面积要最小，只需最小即可，

又，

∴若最小，则最小，

又点为圆心，点是直线上动点，∴当最小时，，

设，

∴，解得，

∴当四边形的面积最小时，点的坐标为.