题目内容

11、函数y=f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称.若实数x,y满足不等式f(x2-6x)+f(y2-8y+24)<0,则x2+y2的取值范围是
(4,6)
分析:根据f(x)的图象关于点(0,0)对称.推断出函数f(x)为奇函数,根据函数为增函数及f(x2-6x)+f(y2-8y+24)<0,可知x2-6x<-y2+8y-24,化简得(x-3)2+(y-4)2<1,求x2+y2的范围实际是求点(3,4)为圆心,以1为半径的圆内的点到原点的距离,进而得到答案.
解答:解:∵函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称.
∴函数f(x)为奇函数,
∵f(x2-6x)+f(y2-8y+24)<0
∴f(x2-6x)<-f(y2-8y+24)=f(-y2+8y-24)
∵函数f(x)为增函数
∴x2-6x<-y2+8y-24
即:(x-3)2+(y-4)2<1
x2+y2的范围则为以点(3,4)为圆心,以1为半径的圆内的点到原点的距离
∴4<x2+y2<6
故答案为:(4,6)
点评:本题主要考查函数单调性和奇偶性的综合运用.本题采用了数形结合的方法,把x2+y2转化为圆内的点到原点的距离.
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