题目内容
（2010•淄博一模）已知双曲线y2-
=1，的两焦点F1、F2，动点P与F1，F2的距离之和为大于4的定值，且向量|
|•|
|的最大值为9，
（1）求动点P的轨迹E的方程
（2）若A、B是曲线E上相异两点，点M（0．-1）满足
=λ
，求λ的取值范围．
| x2 |
| 3 |
| PF1 |
| PF2 |
（1）求动点P的轨迹E的方程
（2）若A、B是曲线E上相异两点，点M（0．-1）满足
| AM |
| MB |
分析：（1）根据椭圆定义可知，所求动点P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，再求出椭圆中的a，b的值即可．
（2）设出A，B点的坐标，以及直线AB的方程，代入椭圆方程，求x1+x2，x1x2，根据
=λ
，找到x1，x2之间的关系，再根据前面所求关系式，化简，即可得λ的方程，解λ即可．
（2）设出A，B点的坐标，以及直线AB的方程，代入椭圆方程，求x1+x2，x1x2，根据
| AM |
| MB |
解答：解：（1）双曲线y2-
=1的两焦点为F1（0，-2），F2（0，2），
设已知定值为2a（2a＞4），则|PF1|+|PF2|=2a，
因此，动点P的轨迹E是以F1（0，-2），F2（0，2）为焦点的长轴长为2a的椭圆；
设椭圆的方程为
+
=1(a＞b＞0)
∵|PF1|•|PF2|≤(
)2=a2，
（当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立）…（4分）∴a2=9，b2=9-4=5
于是，动点P的轨迹E的方程为：
+
=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
=λ
，
得
，
且M、A、B三点共线
设三点所在的直线为l
①当直线l的斜率存在时，
设l：y=kx-1
由
得(5k2+9)x2-10kx-40=0…（7分）△=（-10k）2+160（5k2+9）＞0恒成立
由
将x1=-λx2代入并消去x2，
得
=
当k=0时，λ=1
当k≠0时，由于0＜
=
＜
∴0＜
＜
整理得2λ2-5λ+2＜0∴
＜λ＜2且λ≠1
②当直线l的斜率不存在时，
A、B分别为椭圆长轴的两个端点；
此时，λ=
=
或2
综上所述，实数λ的取值范围为[
，2]．
| x2 |
| 3 |
设已知定值为2a（2a＞4），则|PF1|+|PF2|=2a，
因此，动点P的轨迹E是以F1（0，-2），F2（0，2）为焦点的长轴长为2a的椭圆；
设椭圆的方程为
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
∵|PF1|•|PF2|≤(
| |PF1|+|PF2| |
| 2 |
（当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立）…（4分）∴a2=9，b2=9-4=5
于是，动点P的轨迹E的方程为：
| y2 |
| 9 |
| x2 |
| 5 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
| AM |
| BM |
得
|
且M、A、B三点共线
设三点所在的直线为l
①当直线l的斜率存在时，
设l：y=kx-1
由
|
由
|
将x1=-λx2代入并消去x2，
得
| (1-λ)2 |
| λ |
| ||
| 5k2+9 |
当k=0时，λ=1
当k≠0时，由于0＜
| ||
| 5k2+9 |
| ||
5+
|
| 1 |
| 2 |
| (1-λ)2 |
| λ |
| 1 |
| 2 |
整理得2λ2-5λ+2＜0∴
| 1 |
| 2 |
②当直线l的斜率不存在时，
A、B分别为椭圆长轴的两个端点；
此时，λ=
| -1-y1 |
| 1+y2 |
| 1 |
| 2 |
综上所述，实数λ的取值范围为[
| 1 |
| 2 |
点评：本体考查了定义法求轨迹方程，以及直线与圆位置关系的应用．关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理进行求解．
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