Question

已知向量

a

=(cos(x+

π

8

)，sin2(x+

π

8

))，

b

=(sin(x+

π

8

)，1)，函数f(x)=2

a

•

b

-1
（I）求函数f（x）的解析式，并求其最小正周期；
（II）求函数y=f(-

1

2

x)图象的对称中心坐标与对称轴方程和单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）利用两个向量的数量积公式与两角和的三角公式化简函数f（x）的解析式，求出周期．
（II）利用弦函数的对称中心、对称轴的定义求得对称中心坐标与对称轴方程，由2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3

2

π，求得x的范围，即得函数y=f(-

1

2

x)的增区间．

解答：解：（I）  f(x)=2

a

•

b

-1=2cos(x+

π

8

)sin(x+

π

8

)+2sin2(x+

π

8

)-1
=sin(2x+

π

4

)-cos(2x+

π

4

)=

2

sin2x，∴T=

2π

2

=π．
（II）∵y=f(-

1

2

x)=

2

sin(-x)=-

2

sinx，令y=0即-

2

sinx=0得 x=kπ，
∴对称点（kπ，0）k∈Z，由-

2

sinx=±

2

得  x=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴对称轴方程为x=kπ+

π

2

，k∈Z．
∵y=f(-

1

2

x)=-

2

sinx的单调增区间∴sinx递减，∴2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3

2

π，
∴y=f(-

1

2

x)的单调递增区间是[2kπ+

π

2

，2kπ+

3

2

π]，k∈Z．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，正弦函数的单调区间和周期性，由2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3

2

π，求得函数y=f(-

1

2

x)的增区间，是解题的难点．