题目内容

已知椭圆:的一个焦点为且过点.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．

证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

 

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）线段的长为定值.

【解析】

试题分析：（Ⅰ） 由题意得，，解得，

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，其中，

直线:，令，得；

直线:，令，得.

设圆的圆心为，半径为，

则，

，

而，所以，所以，

所以，即线段的长为定值.

考点：本题考查了椭圆方程的求法及直线与椭圆的位置关系

点评：：从近几年课标地区的高考命题来看，解析几何综合题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，直线与多种曲线的位置关系的综合问题将会逐步成为今后命题的热点，尤其是把直线和圆的位置关系同本部分知识的结合，将逐步成为今后命题的一种趋势

 

练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C的一个焦点F与抛物线y2=12x的焦点重合，且椭圆C上的点到焦点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P（m，n）是椭圆C上的一动点，求直线l：mx+ny=1被圆O：x2+y2=1所截得的弦长的取值范围．
（2013•黄埔区一模）给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是
a2+b2
的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(
2
，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为
3
．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
AB
•
AD
的取值范围；
（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由．
（2013•黄埔区一模）给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是
a2+b2
的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(
2
，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为
3
．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；
（3）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
AB
•
AD
的取值范围．
已知椭圆C的一个焦点为F（0，1），过点F且垂直于长轴的直线被椭圆C截得的弦长为
2
；P，Q，M，N为椭圆C上的四个点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若
PF
∥
FQ
，
MF
∥
FN
且
PF
•
FM
=0，求四边形PMQN的面积的最大值和最小值．

（本小题满分15分）

给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．

（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；

（2）若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围；

（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．

 

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