Question

已知椭圆C的一个焦点F与抛物线y²=12x的焦点重合，且椭圆C上的点到焦点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P（m，n）是椭圆C上的一动点，求直线l：mx+ny=1被圆O：x²+y²=1所截得的弦长的取值范围．

Answer 1

分析：（I）算出抛物线焦点F（3，0），设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），结合题意建立关于a、b、c的方程组，解出a、b、c的值，即可得到椭圆C的标准方程；
（II）由点到直线的距离公式，算出0到l的距离d=

1

m2+n2

＜1=r，从而利用垂径定理算出直线l被圆0截得的弦长L=2

1- 1 9 25 m2+16

，由椭圆的性质得0≤m²≤25，代入加以计算可得直线l被圆0截得的弦长的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）抛物线y²=12x的焦点是F（3，0），
设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

，解之得a=5，b=4，c=3，
所以椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1…（4分）
（Ⅱ）∵点P（m，n）在椭圆C上运动，所以1=

m2

25

+

n2

16

＜m²+n²，
又∵直线l与圆0相交，
∴圆心0到直线l的距离d=

1

m2+n2

＜1=r．
直线l被圆0截得的弦长为
L=2

r2-d2

=2

1- 1 m2 +n2

=2

1- 1 9 25 m2+16

由于0≤m²≤25，所以16≤

9

25

m2+16≤25，则L∈[

15

2

，

4 6

5

]，
即直线l被圆0截得的弦长的取值范围是[

15

2

，

4 6

5

]…（8分）

点评：本题给出椭圆与抛物线满足的条件，求椭圆的方程并依此求直线圆单位圆截得弦长的取值范围．着重考查了椭圆、抛物线的简单几何性质和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．