题目内容
（2013•黄埔区一模）给定椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是
的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(
，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为
．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；
（3）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
•
的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| a2+b2 |
| 2 |
| 3 |
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；
（3）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
| AB |
| AD |
分析：（1）利用椭圆和其“准圆”的标准方程及其定义即可得出；
（2）先求出点P的坐标，设出与椭圆相切的直线的方程，并与椭圆的方程联立，利用△=0即可求出切线的斜率，进而可 求出直线l1，l2的方程；
（3）先设出点B、D的坐标并求出点A的坐标，利用向量的数量积得出
•
，再利用点B在椭圆上即可得出其取值范围．
（2）先求出点P的坐标，设出与椭圆相切的直线的方程，并与椭圆的方程联立，利用△=0即可求出切线的斜率，进而可 求出直线l1，l2的方程；
（3）先设出点B、D的坐标并求出点A的坐标，利用向量的数量积得出
| AD |
| AB |
解答：解：（1）由题意可得：a=
，c=
，b=1，∴r=
=2．
∴椭圆C的方程为
+y2=1，其“准圆”的方程为x2+y2=4；
（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取P（2，0），
设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为my=x-2，
联立
，消去x得到关于y的一元二次方程（3+m2）x2+4m+1=0，
∴△=16m2-4（3+m2）=0，解得m=±1，
故直线l1、l2的方程分别为：y=x-2，y=-x+2．
（3）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．
设点B（x0，y0），则D（x0，-y0）．
∴
•
=（x0-2，y0）•（x0-2，-y0）=(x0-2)2-y02，
∵点B在椭圆
+y2=1上，∴
+y02=1，∴y02=1-
，
∴
•
=(x0-2)2-1+
=
(x0-
)2，
∵-
＜x0＜
，
∴0≤
(x0-
)2＜7+4
，
∴0≤
•
＜7+4
，即
•
的取值范围为[0，7+4
)
| 3 |
| 2 |
(
|
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 3 |
（2）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取P（2，0），
设过点P且与椭圆相切的直线l的方程为my=x-2，
联立
|
∴△=16m2-4（3+m2）=0，解得m=±1，
故直线l1、l2的方程分别为：y=x-2，y=-x+2．
（3）由“准圆”的方程为x2+y2=4，令y=0，解得x=±2，取点A（2，0）．
设点B（x0，y0），则D（x0，-y0）．
∴
| AB |
| AD |
∵点B在椭圆
| x2 |
| 3 |
| x02 |
| 3 |
| x02 |
| 3 |
∴
| AD |
| AB |
| x02 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∵-
| 3 |
| 3 |
∴0≤
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴0≤
| AD |
| AB |
| 3 |
| AD |
| AB |
| 3 |
点评：熟练掌握圆锥曲线的定义及性质、直线与圆锥曲线相切问题的解法、斜率的数量积的定义是解题的关键．
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