题目内容

如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn（n=1，2，…），其对角线BnDn依次放置在x轴上（相邻顶点重合）．设{an}是首项为a，公差为d（d＞0）的等差数列，点B1的坐标为（d，0）．
（1）当a=8，d=4时，证明：顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；
（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点An均落在抛物线y2=2x上；
（3）为使所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，求a与d之间所应满足的关系式．

【答案】分析：（1）求出A1A2、A1A3的斜率，利用斜率不相等，即可得到结论；
（2）确定顶点An的横坐标、纵坐标，即可证得结论；
（3）顶点An的横、纵坐标，消去n-1，利用所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，即可求a与d之间所应满足的关系式．
解答：（1）证明：由题意可知，A1（8，4），A2（18，6），A3（32，8），
∴．
∵，
∴顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；
（2）证明：由题意可知，顶点An的横坐标=2（n+1）2，
顶点An的纵坐标．
∵对任意正整数n，点An（xn，yn）的坐标满足方程y2=2x，
∴所有顶点An均落在抛物线y2=2x上．
（3）解：由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是，
消去n-1，可得
为使得所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则有
解之，得d=4p，a=8p．
∴a，d所应满足的关系式是：a=2d．
点评：本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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（1）若3k=
2ac
a2+c2-b2
，求cos2
A+C
2
+sin2B的值；
（2）若k=2，记∠xOA=α(0＜α＜
π
2
)，∠xOB=β(π＜β＜
3π
2
)，求sin(α+β)的值．
精英家教网如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G的离心率为e=
15
4
，左顶点A（-4，0），圆O'：（x-2）2+y2=r2是椭圆G的内接△ABC的内切圆．
（Ⅰ） 求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求圆O'的半径r；
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π
6
，
π
2
)．将角α的终边按逆时针方向旋转
π
3
，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
3
，求x2；
（Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．
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π
3
，
π
2
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π
6
，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
4
，求x2； 
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3
x+3y=0（x≥0），过点P（a，0）（a＞0）作直线l分别交射线OA，OB于A，B两点，且
AP
=2
PB
，则直线l的斜率为
 
．

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