Question

已知椭圆的离心率为，直线过点，，且与椭圆相切于点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）由题得过两点，直线的方程为.
因为，所以，. 设椭圆方程为,  
由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以
，解得。所以椭圆方程为      
Ⅱ已知直线的斜率存在，设直线的方程为.
由消去，整理得.  
由题意知，解得
设，，，则.    
又直线与椭圆相切，
由解得，所以   
则. 所以.
又


 所以，解得.经检验成立.
所以直线的方程为.  
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
点评：本题考查椭圆方程的求法，探索直线方程是否存在．综合性强，难度大，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．