题目内容

已知数列中,
(Ⅰ)求证:是等比数列,并求的通项公式
(Ⅱ)数列满足,数列的前n项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围。

(Ⅰ)详见解析;;(Ⅱ)

解析试题分析:(Ⅰ)已知数列中,,像这种分子为单项,分母为多项的递推关系,常常采用取倒数法,即,这样就得到的递推关系,求证:是等比数列,只需证明等于与无关的常数即可,求的通项公式,由前面证明可知是以为首项,为公比的等比数列,故能写出,从而可得;(Ⅱ)若不等式对一切恒成立,求的取值范围,首先求出,而是数列的前n项和,故需求的通项公式,由,可得,这是一个等差数列与一个等比数列对应项积所组成的数列,求它的前n项和,可用错位相减法来求得,从而求出的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)由知,,又是以为首项,为公比的等比数列,               6分
(Ⅱ),   
,   两式相减得

                           9分

若n为偶数,则
若n为奇数,则
                           13分
考点:等比数列的判断,数列的通项公式的求法,数列求和.

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