题目内容
（2012•厦门模拟）某公园内有一椭圆形景观水池，经测量知，椭圆长轴长为20米，短轴长为16米．现以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．（I）为增加景观效果，拟在水池内选定两点安装水雾喷射口，要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等，请指出水雾喷射口的位置（用坐标表示），并求椭圆的方程；
（Ⅱ）为增强水池的观赏性，拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置．请确定点肘的位置，使此三角形区域面积最大．
分析：（I）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，则2a=20，2b=16，由椭圆定义知水雾喷射口的位置，并可得椭圆的方程；
（Ⅱ）记点M到直线AB的距离为d，过点M与AB平行的直线为l，则S△ABM=
d，要使△ABM的面积最大，则只需d最大，即l与AB这两平行线间的距离最大，设出方程代入椭圆方程即可求解．
（Ⅱ）记点M到直线AB的距离为d，过点M与AB平行的直线为l，则S△ABM=
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解答：解：（I）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，则2a=20，2b=16，∴a=10，b=8，c=6
由椭圆定义知，水雾喷射口的位置应选择再椭圆的两个焦点处，其左边为（-6，0），（6，0）
椭圆的方程为；
+
=1
（Ⅱ）由题知A（10，0），B（8，0）
记点M到直线AB的距离为d，过点M与AB平行的直线为l
∵|AB|=2
，∴S△ABM=
d
要使△ABM的面积最大，则只需d最大，即l与AB这两平行线间的距离最大
∴l与椭圆相切于第三象限的点M，即为所求的点
∵kAB=-
，∴设l的方程为：y=-
x+m
代入到椭圆方程，消元可得32x2-40mx+25m2-1600=0①
令△=1600m2-4×32×（25m2-1600）=0，可得m=±8
，由题意，m=-8
代入（1），可得x=-5
，代入直线l的方程，可得y=-4
∴M（-5
，-4
）
∴当点M选择在（-5
，-4
）时，三角形区域面积最大．
由椭圆定义知，水雾喷射口的位置应选择再椭圆的两个焦点处，其左边为（-6，0），（6，0）
椭圆的方程为；
| x2 |
| 100 |
| y2 |
| 64 |
（Ⅱ）由题知A（10，0），B（8，0）
记点M到直线AB的距离为d，过点M与AB平行的直线为l
∵|AB|=2
| 41 |
| 41 |
要使△ABM的面积最大，则只需d最大，即l与AB这两平行线间的距离最大
∴l与椭圆相切于第三象限的点M，即为所求的点
∵kAB=-
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
代入到椭圆方程，消元可得32x2-40mx+25m2-1600=0①
令△=1600m2-4×32×（25m2-1600）=0，可得m=±8
| 2 |
| 2 |
代入（1），可得x=-5
| 2 |
| 2 |
∴M（-5
| 2 |
| 2 |
∴当点M选择在（-5
| 2 |
| 2 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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