题目内容
如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1,AD=2.
(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；
(2)求异面直线PA与BC所成的角；
(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC⊥平面PBC.
(1)解：建立如上图所示的直角坐标系D—xyz,
∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,
∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).
由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角.∴∠PAD=60°.
在Rt△PAD中，由AD=2，得
.
∴P(0,0,
).
(2)解：∵
=(2,0,
),
=(-2,-3,0),
∴
.
∴PA与BC所成的角为arccos
.
(3)证明：∵M为PB的中点，
∴点M的坐标为(1,2,
).
∴
=(-1,2,
),
=(1,1,
),
=(2,4,
).
∵
=(-1)×2+2×4+
×(
)=0,
=1×2+1×4+
×(
)=0,
∴
,
.
∴PB⊥平面AMC.
又PB
面PCB,
∴平面AMC⊥平面PBC.
启示：异面直线所成角的范围为(0,
).
练习册系列答案
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如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
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如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，
如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=