Question

一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．

(Ⅰ)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；

(Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁？如何组拼？试证明你的结论；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下，设正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中点为E，求平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD是边长为6的正方形，高为CC1＝6，故所求体积是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分 　　(Ⅱ)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图所示．　　　　　　　　　　　　6分 　　证明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D为全等的正方形，于是，故所拼图形成立．　　　　　　8分 　　(Ⅲ)以C为原点，CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系(如图)， 　　∵正方体棱长为6，则E(0，0，3)，B1(0，6，6)，A(6，6，0)． 　　设向量n＝(x，y，z)，满足n⊥，n⊥， 　　于是，解得．　　　　　　　　　　12分 　　取z＝2，得n＝(2，－1，2)．又(0，0，6)， 　　 　　故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为．　　　　　　　14分