题目内容
19.已知cot(θ+$\frac{7}{2}$π)=$\frac{3}{4}$($\frac{π}{2}$<θ<π),cos(π-α)=$\frac{1}{2}$($\frac{π}{2}$<α<π),求下列各式的值:$\frac{sinθ+cosθ}{sinθ-cosθ}$,sin2θ,cos(-2α),sin(α-$\frac{π}{4}$)
分析 已知等式左边利用诱导公式化简求出tanθ与cosα的值,根据θ与α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出cosθ,sinθ,sinα的值,原式各项变形后代入计算即可求出值.
解答 解:∵cot(θ+$\frac{7}{2}$π)=-tanθ=$\frac{3}{4}$,即tanθ=-$\frac{3}{4}$,cos(π-α)=-cosα=$\frac{1}{2}$,即cosα=-$\frac{1}{2}$,
∵$\frac{π}{2}$<θ<π,$\frac{π}{2}$<α<π,
∴cosθ=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}θ}}$=-$\frac{4}{5}$,sinθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{3}{5}$,sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$\frac{sinθ+cosθ}{sinθ-cosθ}$=$\frac{tanθ+1}{tanθ-1}$=$\frac{-\frac{3}{4}+1}{-\frac{3}{4}-1}$=-$\frac{1}{7}$;sin2θ=2sinθcosθ=-$\frac{24}{25}$;cos(-2α)=cos2α=2cos2α-1=-$\frac{1}{2}$,sin(α-$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(sinα-cosα)=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.
点评 此题考查了同角三角函数间的基本关系,以及运用诱导公式化简求值,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
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