题目内容

8.在(1+2x)n的展开式中,最后三项的二项式系数和为56,则展开式中系数最大的项为第8项.

分析 由题意可得后三项的二项式系数和 1+Cn1+Cn2=56,解方程求得n 的值.设第r+1项的系数最大,利用二项式系数的性质及组合数公式求得展开式中系数最大的项.

解答 解:由题意得:1+Cn1+Cn2=56,解得n=10,
设第r+1项的系数最大,则有$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}•{2}^{r}≥{C}_{10}^{r+1}•{2}^{r+1}}\\{{C}_{10}^{r}•{2}^{r}≥{C}_{10}^{r-1}•{2}^{r-1}}\end{array}\right.$,
解得$\frac{19}{3}≤r≤\frac{22}{3}$,∴r=7.
∴展开式中第8项的系数最大,
故答案为:8.

点评 本题主要考查二项式定理,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,是基础题.

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