题目内容
【题目】若动点到定点
与定直线
的距离之和为4.
(1)求点的轨迹方程,并画出方程的曲线草图;
(2)记(1)得到的轨迹为曲线,问曲线
上关于点
(
)对称的不同点有几对?请说明理由.
【答案】(1);作图见解析;(2)答案不唯一,具体见解析.
【解析】
(1)设,由题意
,分类讨论,可得点
的轨迹方程,并画出方程的曲线草图;
(2)当或
显然不存在符合题意的对称点,当
时,注意到曲线
关于
轴对称,至少存在一对(关于
轴对称的)对称点,再研究曲线
上关于
对称但不关于
轴对称的对称点即可.
解:(1)设,由题意
①:当时,有
,
化简得:
②:当时,有
,
化简得:(二次函数)
综上所述:点的轨迹方程为
(如图):
(2)当或
显然不存在符合题意的对称点,
当时,注意到曲线
关于
轴对称,至少存在一对(关于
轴对称的)对称点.
下面研究曲线上关于
对称但不关于
轴对称的对称点
设是轨迹
上任意一点,
则,
它关于的对称点为
,
由于点在轨迹
上,
所以,
联立方程组(*)得
,
化简得
①当时,
,此时方程组(*)有两解,
即增加有两组对称点.
②当时,
,此时方程组(*)只有一组解,
即增加一组对称点.(注:对称点为,
)
③
当时,
,此时方程组(*)有两解为
,
,
没有增加新的对称点.
综上所述:记对称点的对数为.
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