题目内容
【题目】设n为正整数,集合A=.对于集合A中的任意元素和,记
M()=.
(Ⅰ)当n=3时,若, ,求M()和M()的值;
(Ⅱ)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素,当相同时,M()是奇数;当不同时,M()是偶数.求集合B中元素个数的最大值;
(Ⅲ)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素,
M()=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.
【答案】(1) M(α,β)=1
(2) 最大值为4
(3)答案见解析
【解析】分析:(1)根据定义对应代入可得M()和M()的值;(2)先根据定义得M(α,α)= x1+x2+x3+x4.再根据x1,x 2,x3,x4∈{0,1},且x1+x2+x3+x4为奇数,确定x1,x 2,x3,x4中1的个数为1或3.可得B元素最多为8个,再根据当不同时,M()是偶数代入验证,这8个不能同时取得,最多四个,最后取一个四元集合满足条件,即得B中元素个数的最大值;(3)因为M()=0,所以不能同时取1,所以取共n+1个元素,再利用A的一个拆分说明B中元素最多n+1个元素,即得结果.
详解:解:(Ⅰ)因为α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以
M(α,α)= [(1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)]=2,
M(α,β)= [(1+0–|10|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1.
(Ⅱ)设α=(x1,x 2,x3,x4)∈B,则M(α,α)= x1+x2+x3+x4.
由题意知x1,x 2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)为奇数,
所以x1,x 2,x3,x4中1的个数为1或3.
所以B{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.
将上述集合中的元素分成如下四组:
(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1).
经验证,对于每组中两个元素α,β,均有M(α,β)=1.
所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.
所以集合B中元素的个数不超过4.
又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件,
所以集合B中元素个数的最大值为4.
(Ⅲ)设Sk=( x1,x 2,…,xn)|( x1,x 2,…,xn)∈A,xk=1,x1=x2=…=xk–1=0)(k=1,2,…,n),
Sn+1={( x1,x 2,…,xn)| x1=x2=…=xn=0},
则A=S1∪S1∪…∪Sn+1.
对于Sk(k=1,2,…,n–1)中的不同元素α,β,经验证,M(α,β)≥1.
所以Sk(k=1,2 ,…,n–1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.
所以B中元素的个数不超过n+1.
取ek=( x1,x 2,…,xn)∈Sk且xk+1=…=xn=0(k=1,2,…,n–1).
令B=(e1,e2,…,en–1)∪Sn∪Sn+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.
故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.