题目内容
【题目】
如图4,在四棱锥中,底面是矩形,
平面,,,于点.
(1) 求证:;
(2) 求直线与平面所成的角的余弦值.
【答案】
【解析】
试题(1)要证明线线垂直,可考虑先证明直线和平面垂直,该题先证明平面,从而得到,又,故可证明平面,进而证明;(2)求直线和平面所成的角,需先找后求,同时要有必要的证明过程,该题中直线和平面所成的角不易找到,故可采取转化法,先求点到平面的距离,再利用,求得所求角的正弦值,进而求余弦值.故求点到平面的距离成为解题关键,可利用等体积转化法进行.
试题解析:(1)证明:∵平面,平面,∴.
∵,平面,平面,
∴平面.
∵平面
∴,
∵,,平面,
平面,∴平面.
∵平面,∴.
(2)解:由(1)知,,又,
则是的中点,在Rt△中, 得,
在Rt△中,得,
∴.
设点到平面的距离为,由,
得.解得,
设直线与平面所成的角为,
则,
∴.
∴直线与平面所成的角的余弦值为.