题目内容

【题目】设f(x)=log 为奇函数,a为常数,
(1)求a的值;
(2)证明f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;
(3)若x∈[3,4],不等式f(x)>( x+m恒成立,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:∵f(x)是奇函数,

∴f(﹣x)=﹣f(x),

即(1+ax)(1﹣ax)=﹣(x+1)(x﹣1),

即1﹣a2x2=1﹣x2

即a2=1,

∴a=﹣1或a=1,

若a=1,则 = 不满足条件,舍去,

故a=﹣1


(2)证明:∵ ,(x>1),

设1<x1<x2,则△x=x2﹣x1>0

∴△y=f(x2)﹣f(x1)>0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增


(3)解:设

则g(x)在[3,4]上是增函数

∴g(x)>m对x∈[3,4]恒成立,

∴m<g(3)=﹣


【解析】(1)根据对数的基本运算以及函数奇偶性的性质建立条件关系即可求a的值;(2)根据函数单调性的定义即可证明f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;(3)结合函数的单调性,利用参数分离法即可求出m的取值范围.

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