题目内容
【题目】已知
，
是椭圆
：
的左右两个焦点，过的直线与交于
，
两点（在第一象限），
的周长为8，的离心率为
.
（1）求的方程；
（2）设
，
为的左右顶点，直线
的斜率为
，
的斜率为
，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据椭圆定义可知，
周长为
，结合已知求出
，即可求解；
（2）若直线
斜率不存在时，求出
坐标，以及
值，并有 
；当直线斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，得出两点坐标关系，求出
，，再求出
取值范围，将
表示为的二次函数，转化求二次函数的取值范围，即可求得结论.
解：（1）由条件得
解得
，
所以
的方程为.
（2）由（1）得
，
，
，
当直线的斜率不存在时，
，
，
，
.
当直线的斜率存在时，此时直线的斜率不为0，设直线的方程为
，
设
，
，由
得
，
则
，
，
∴
.∴.
因为点
在第一象限，所以
，（
为椭圆的上顶点）
∴
，
∴
.
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