Question

设函数f(x)=-cos2x-4t•sin

x

2

cos

x

2

+2t2-6t+2（x∈R），其中t∈R，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）当-1≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有且仅有一个实根，求实数k的取值范围

Answer 1

分析：（1）首先对函数f（x）进行化简整理，进而看当t＜-1，-1≤t≤1和t＞1时时函数f（x）的最小值，进而确定g（t）的解析式．
（2）根据（1）可知当-1≤t≤1时函数g（t）的解析式，整理g（t）=kt得t²-（k+6）t+1=0问题转化为在区间[-1，1]有且仅有一个实根，先根据判别式等于0求得k的值，令q（t）=t²-（k+6）t+1，进而确定函数与x轴的轴有一个交点落在区间[-1，1]分别求得k的范围，最后综合可得答案．

解答：解：（1）由已知有：f(x)=-cos2x-4t•sin

x

2

cos

x

2

+t2-6t+2=sin²x-2t•sinx+2t²-6t+1=（sinx-t）²+t²-6t+1，
由于x∈R，∴-1≤sinx≤1，
∴当t＜-1时，则当sinx=-1时，f（x）_min=2t²-4t+2；
当-1≤t≤1时，则当sinx=t时，f（x）_min=t²-6t+1；
当t＞1时，则当sinx=1时，f（x）_min=2t²-8t+2；
综上，g(t)=

2t2-4t+2，t∈(-∞，-1) t2-6t+1，t∈[-1，1] 2t2-8t+2，t∈(1，+∞)

（2）当-1≤t≤1时，g（t）=t²-6t+1，方程g（t）=kt即t²-6t+1=kt，
即方程t²-（k+6）t+1=0在区间[-1，1]有且仅有一个实根，
令q（t）=t²-（k+6）t+1，则有：
①若△=（k+6）²-4=0，即k=-4或k=-8．
当k=-4时，方程有重根t=1；当k=-8时，c方程有重根t=-1，∴k=-4或k=-8．
②

k+6 2 ＜-1 q(-1)＜0 q(1)＞0

?

k＜-8 k＜-8 k＜-4

?k＜-8或

k+6 2 ＞1 q(-1)＞0 q(1)＜0

?

k＞-4 k＞-8 k＞-4

?k＞-4，
综上，当k∈（-∞，-8]∪[-4，+∞）时，关于t的方程g（t）=kt在区间[-1，1]有且仅有一个实根．

点评：本题主要考查了函数与方程得综合运用．解题的关键是利用转化和化归思想，数形结合思想．